标题相交线是平面几何中一个非常重要的概念，它是指两个圆的切线所交的直线。-我们将介绍标题相交线的定义及其性质。
-标题相交线的定义
在平面直角坐标系中，设两个圆的方程分别为：
$$(x-a_1)^2+(y-b_1)^2=r_1^2$$
$$(x-a_2)^2+(y-b_2)^2=r_2^2$$
其中，$a_1,b_1,r_1$和$a_2,b_2,r_2$分别表示两个圆的圆心坐标和半径。
如果这两个圆相交，那么它们一定有两个公共切线。这两条公共切线的交点就是标题相交线。
-标题相交线的性质
- 标题相交线的长度等于两个圆心之间的距离。
证明：设两个圆的圆心分别为$O_1$和$O_2$，标题相交线与$x$轴的交点分别为$A$和$B$，如图1所示。
因为$OA_1=r_1$，$OA_2=r_2$，所以$O_1O_2=a_2-a_1$。
又因为$OA_1\perp A_1B$，$OA_2\perp A_2B$，所以$A_1B$和$A_2B$分别是圆$O_1$和圆$O_2$的切线。
-$A_1B$和$A_2B$相等，且都垂直于$O_1O_2$，所以$A_1B$和$A_2B$构成一个矩形，其对角线$AB$的长度等于矩形的长和宽的平方和的平方根。
$$AB=\sqrt{(OA_1-OB)^2+(A_1B)^2}$$
$$=\sqrt{(r_1-(a_2-a_1))^2+(r_1+r_2)^2}$$
$$=\sqrt{(a_2-a_1)^2+(r_1+r_2)^2}$$
$$=O_1O_2$$
-标题相交线的长度等于两个圆心之间的距离。
- 标题相交线的中垂线过两个圆心。
证明：设两个圆的圆心分别为$O_1$和$O_2$，标题相交线与$x$轴的交点分别为$A$和$B$，如图2所示。
因为$OA_1=r_1$，$OA_2=r_2$，所以$O_1O_2=a_2-a_1$。
又因为$OA_1\perp A_1B$，$OA_2\perp A_2B$，所以$A_1B$和$A_2B$分别是圆$O_1$和圆$O_2$的切线。
-$A_1B$和$A_2B$相等，且都垂直于$O_1O_2$，所以$A_1B$和$A_2B$构成一个矩形，其对角线$AB$的中点$M$是矩形的中心，也就是标题相交线的中点。
又因为$A_1O_1\perp A_1B$，$A_2O_2\perp A_2B$，所以$A_1O_1$和$A_2O_2$分别是圆$O_1$和圆$O_2$的半径。
-$A_1O_1$和$A_2O_2$相等，且都垂直于$A_1B$和$A_2B$，所以$A_1O_1$和$A_2O_2$构成一个矩形，其对角线的交点$O$是矩形的中心，也就是标题相交线的中垂线过两个圆心。
- 标题相交线的两侧分别是圆的内部和外部。
证明：设两个圆的圆心分别为$O_1$和$O_2$，标题相交线与$x$轴的交点分别为$A$和$B$，如图3所示。
因为$OA_1=r_1$，$OA_2=r_2$，所以$O_1O_2=a_2-a_1$。
又因为$OA_1\perp A_1B$，$OA_2\perp A_2B$，所以$A_1B$和$A_2B$分别是圆$O_1$和圆$O_2$的切线。
-$A_1B$和$A_2B$相等，且都垂直于$O_1O_2$，所以$A_1B$和$A_2B$构成一个矩形，其对角线$AB$的中点$M$是矩形的中心，也就是标题相交线的中点。
设圆$O_1$和圆$O_2$的半径分别为$r_1$和$r_2$，则$OM=\frac{1}{2}O_1O_2$。
因为$OM\frac{1}{2}|r_1-r_2|$，所以$O$在圆$O_1$和圆$O_2$的外部。
-标题相交线的两侧分别是圆的内部和外部。
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-标题相交线是两个圆的切线所交的直线，其长度等于两个圆心之间的距离，中垂线过两个圆心，两侧分别是圆的内部和外部。标题相交线在几何问题中有广泛的应用，如圆的外接和内切、圆的切线等问题。-深入理解标题相交线的定义和性质对于掌握平面几何知识非常重要。